Ungkapan Kuadratik

Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut:

1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah.
2. Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah. 
   Contoh: 
   3x² + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana 
   (i) pemboleh-ubahnya adalah x, 
   (ii) kuasa tertinggi x ialah 2.

Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax² + bx + c, dimana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0, contohnya 2x² + 3x + 5.

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik:

• dengan dua sebutan, contohnya 2x² + 4x, c = 0
• dengan satu sebutan, contohnya 5p², b = c = 0

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x + 3) = 2x² + x - 3.

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1:

Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah. Beri alasan-alasan bagi jawapan.

• 5x² - 2x + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2.
  
  
• -3g² 
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.
  
  
• 3b - 4
  Jwb:
  Tidak. Walaupun terdapat hanya satu pemboleh ubah, b, tetapi kuasa tertinggi b ialah 1. 
  
  
• a² - b² 
  Jwb:
  Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b.
  
  
• p² + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2.
  
  
• x(x³ + x - 2)
  Jwb:
  Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax² + bx + c.
  
  

Contoh 2:
Darabkan ungkapan linear berikut.

• (2x - 3)(x + 1)
  Jwb:
  = 2x(x + 1) - 3(x + 1)
  = 2x² + 2x - 3x -3
  = 2x² - x - 3
  
  
• -y(y - 5)
  Jwb:
  = -y x y + (-y) x (-5)
  = -y² + 5y

Contoh 3:
Tulis ungkapan bagi luas segi empat tepat yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

Jwb:
Luas = Panjang x Lebar
= (x + 1)(x + 3)
= x(x + 3) + 1(x + 3)
= x² + 3x + x + 3
= x² + 4x + 3

Bentuk Piawai

Adalah lebih mudah untuk menulis suatu nombor yang sangat/terlalu besar atau nombor yang sangat/terlalu kecil dalam bentuk piawai (standard form) atau tatatanda saintifik (scientific notation).

Nombor yang diungkap dalam bentuk piawai adalah ditulis sebagai A x 10ⁿ, di mana 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer positif atau negatif.

Mengungkapkan nombor positif dalam bentuk piawai

Nombor positif yang lebih besar daripada, atau sama dengan 10, boleh ditulis dalam bentuk piawai  A x 10ⁿ, di mana 1 ≤  A < 10 dan n adalah integer positif, iaitu n = 1, 2, 3, ...

Contoh i:

• 90 = 9 x 10
• 9 803 000 = 9.803 x 10⁶

* Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kiri.

Nombor positif yang kurang daripada 1, boleh ditulis dalam bentuk piawai  A x 10ⁿ, di mana  1 ≤  A < 10 dan n ialah integer negatif, iaitu n = ..., -3, -2, -1.

Contoh ii:

• 0.563 = 5.63 x 10^-1
• 0.00709 = 7.09 x 10^-3

** Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kanan.

Contoh 1:

Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai.

• 8383
  Jwb:
  8383 = 8383.0 → [gerakkan titik perpuluhan 3 tempat ke kiri]
  = 8.383 x 10³
  
  
• 31 584
  Jwb:
  31 584 = 31 584.0 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kiri]
  = 3.1584 x 10⁴
  
  
• 240 000
  Jwb:
  240 000 = 240 000.0 → [gerakkan titik perpuluhan 5 tempat ke kiri]
  = 2.4 x 10⁵

Contoh 2:

Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai.

• 0.9233
  Jwb:
  0.9233 → [gerakkan titik perpuluhan 1 tempat ke kanan]
  = 9.233 x 10^-1
  
  
• 0.0463
  Jwb:
  0.0463 → [gerakkan titik perpuluhan 2 tempat ke kanan]
  = 4.63 x 10^-2
  
  
• 0.0005452
  Jwb:
  0.0005452 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kanan]
  = 5.452 x 10^-4

Menukar nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal (single number)

Nombor dalam bentuk piawai, iaitu A x 10ⁿ boleh ditukar kepada nombor tunggal (single number) dengan menggerakkan titik perpuluhan pada A.

• n ditempatkan ke kanan jika n adalah positif.
• n ditempatkan ke kiri jika n adalah negatif.

Contoh 3:

Ungkapkan bentuk piawai berikut kepada nombor tunggal (single number).

• 8.09 x 10³
  Jwb:
  = 8.090 → [gerakkan titik perpuluhan 3 tempat ke kanan]
  = 8090
  
  
• 6.228 x 10^{-4
  Jwb:}
  = 6.228 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kiri]
  = 0.0006228

Pengiraan nombor dalam bentuk piawai

Dua nombor dalam bentuk piawai boleh ditambah atau ditolakkan jika kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama.

Contoh 4:


Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

• 5.8 x 10⁴ - 2.7 x 10⁴
  Jwb:
  Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu ⁴
  = (5.8 - 2.7) x 10 ⁴   ←   [10⁴ adalah faktor sepunya (common factor)]
  = 3.1 x 10 ⁴
  
  
• 3.5 x 10^-3 + 5.6 x 10^-3
  Jwb:
  Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu ^-3
  = (3.5 + 5.6) x 10^-3   ←   [10^-3 adalah faktor sepunya (common factor)]
  = 9.1 x 10^-3

Dua nombor dalam bentuk piawai yang mempunyai indeks yang berbeza hanya boleh ditambah atau ditolak jika indeks yang berbeza tersebut dijadikan sama.

Contoh 5:

Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

• 6.6 x 10⁶ + 5 x 10⁵
  Jwb:
  6.6 x 10⁶  + 5 x 10⁵
  Tukarkan indeks 5 kepada indeks 6 iaitu, indeks yang lebih besar.
  = 6.6 x 10⁶ + 5 x 10^-1 x 10⁶
  
  ** 5 x 10^-1 = 0.5
  
  = 6.6 x 10⁶ + 0.5 x 10⁶
  = (6.6 + 0.5) x 10⁶   ←   [10⁶ adalah faktor sepunya]
  = 7.1 x 10⁶
  
  
• 8.4 x 10^-4 - 8 x 10^-5
  Jwb:
  8.4 x 10^-4 - 8 x 10^-5
  Tukarkan indeks -5 kepada indeks -4 iaitu, indeks yang lebih besar.
  = 8.4 x 10^-4 - 8 x 10^-1 x 10^-4
  
  ** 8 x 10^-1 = 0.8
  
  = 8.4 x 10^-4 - 0.8 x 10^-4
  = (8.4 - 0.8) x 10^-4   ←   [10^-4 adalah faktor sepunya]
  = 7.6 x 10^-4

Apabila dua nombor dalam bentuk piawai didarab atau dibahagi, nombor-nombor biasa akan didarab atau dibahagi diantara satu sama lain, manakala indeks mereka pula akan ditambah atau ditolak.

Contoh 6:

Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

• 9.5 x 10³ x 2.2 x 10²
  Jwb:
  Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-nombor indeks dalam kumpulan lain.
  = 9.5 x 2.2 x 10³ x 10²
  * 10^m x 10ⁿ = 10^m+n
  = 9.5 x 2.2 x 10³⁺²
  = 20.9 x 10⁵
  ** Menulis 20.9 dalam bentuk piawai, iaitu 2.09 x 10¹
  = 2.09 x 10¹ x 10⁵
  = 2.09 x 10⁶
  
  
• (7.2 x 10⁵) ÷ (6 x 10^-2)
  Jwb:
  Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-nombor indeks dalam kumpulan lain.
  = (7.2 ÷ 6) x 10^5-(-2)
  = 1.2 x 10⁷
  
  

Contoh 7:

Kira (7.2 x 60 000) ÷ (9 x 107), dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

Jwb:
Tukarkan mana-mana nombor yang diberi kepada bentuk piawai sebagai langkah pertama.
= (7.2 x 6 x 104) ÷ (9 x 107)

Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-nombor indeks dalam kumpulan lain.
= ((7.2 x 6) ÷ 9) x {104 ÷ 107)
* 10m ÷ 10n = 10m-n
= 4.8 x 104-7
= 4.8 x 10-3

Asas Nombor

Pelbagai asas nombor (number bases) digunakan untuk mewakili sesuatu nombor.

Hari ini, nombor dalam asas dua (binary number) atau sistem berasas 2 dalam pengiraan, amat berperanan dalam aplikasi dunia komputer.

Ini bukanlah sesuatu yang mengejutkan kerana terdapat hubungan saling berkait antara aras logik yang digunakan oleh komputer dan dua digit yang digunakan dalam sistem nombor dalam asas dua (binary).

Dalam bab ini, selain daripada sistem nombor dalam asas dua, kita juga akan mempelajari tentang:

1. Sistem nombor dalam asas 5 (base 5 number system).
2. Sistem nombor dalam asas 8 (base 8 number system).
   

Nota Matematik Tingkatan 5

Bab 1 - Asas Nombor (Number Bases)

Nombor dalam Asas Dua, Asas Lapan dan Asas Lima (Numbers in Base Two, Eight and Five)

Nilai Digit Bagi Nombor Dalam Asas 2, 8 dan 5 (Value of a Digit of a Number in Base 2, 8 and 5)

Bab 2 - Graf Fungsi (Graphs of Functions) II

Melukis Graf Fungsi (Drawing Graphs of Functions)


Bab 3 - Penjelmaan (Transformation) III

Gabungan Dua Penjelmaan

• Menentukan Imej Suatu Objek Bagi Gabungan Dua Penjelmaan Isometri.
• Menentukan Imej Suatu Objek Bagi Gabungan Penjelmaan Dua Pembesaran, Satu Pembesaran Dengan Satu Daripada Penjelmaan Isometri.

Bab 4 - Matriks (Matrix)

Matriks

• Membentuk matrik daripada maklumat yang diberi

Bab 5 - Ubahan (Variations)

Ubahan Langsung (Direct Variation)

• Menyatakan perubahan yang berlaku kepada suatu kuantiti apabila kuantiti yang lain berubah dalam situasi harian yang melibatkan ubahan langsung.
• Menentukan samada suatu kuantiti berubah secara langsung terhadap kuantiti yang lain daripada maklumat yang diberi.
• Menulis suatu ubahan langsung dalam bentuk persamaan yang melibatkan dua pemboleh ubah.
• Mencari nilai bagi suatu pemboleh ubah dalam ubahan langsung apabila maklumat yang mencukupi diberi.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung.

Bab 6 - Kecerunan dan Luas di bawah Graf (Gradient and Area Under a Graph)

Kuantiti yang diwakili oleh Kecerunan Graf


Bab 7 - Kebarangkalian (Probability) II

Kebarangkalian Suatu Peristiwa

• Menentukan ruang sampel bagi suatu ujikaji dengan kesudahan sama boleh jadi
• Menentukan kebanrangkalian sesuatu peristiwa bagi ruang sampel yang semua kesudahannya sama boleh jadi
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian

Bab 8 - Bearing

Melukis dan Melabel Lapan Arah Kompas Utama


Bab 9 - Bumi Sebagai Sfera (Earth as a Sphere)

Melakar Bulatan Agung Melalui Kutub Utara dan Kutub Selatan


Bab 10 - Pelan dan Dongakan (Plans and Elevations)

Mengenal Pasti Unjuran Ortogon