Menentukan Punca Persamaan Kuadratik Menggunakan Kaedah Pemfaktoran

Untuk menentukan punca persamaan kuadratik, kita menggunakan kaedah pemfaktoran (factorisation method), iaitu (x + p)(x + q) = 0 atau (mx + p)(nx + q) = 0.

Oleh kerana sesuatu persamaan kuadratik boleh difaktorkan sebagai hasil darab dua ungkapan linear (yang boleh disamakan dengan 0), maka persamaan itu selebih-lebihnya mempunyai dua punca.

Contoh 1

Selesaikan setiap yang berikut.

a) x² = 7x

b) p² − 6p − 7 = 0

Penyelesaian:

Contoh 2

Selesaikan setiap yang berikut.

a) 2q² + 7q + 6 = 0

b) 2r² − 9r + 4 = 0

Penyelesaian:

Contoh 3

Selesaikan setiap yang berikut.

a) 6m² − 22m − 8 = 0

b) 7p − 2 − 6p² = 0

Penyelesaian:

Punca Persamaan Kuadratik

Punca persamaan kuadratik (roots of quadratic equation) ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik.

Apabila suatu persamaan kuadratik dan suatu nilai pembolehubahnya diberi, kita boleh menentukan sama ada nilai tersebut adalah punca persamaan itu atau tidak, secara penggantian (substitution).

Contoh

Penyelesaian:

Membentuk Persamaan Kuadratik Berdasarkan Situasi Harian Tertentu

Contoh

Sekumpulan pelajar ingin membina satu bendera Sekolah (bendera gergasi) dengan panjang pepenjuru bendera tersebut ialah 10 m. Panjang bendera itu adalah 4 m kurang daripada dua kali lebarnya. Bentukkan satu persamaan kuadratik berdasarkan maklumat yang diberi.

Penyelesaian:

Katakan lebar = x m

Panjang = (2x – 4) m

Berdasarkan Teorem Phytagoras

(2x – 4)² + x² = 102

(2x – 4) (2x – 4) + x² = 100

4x² – 8x – 8x + 16 + x² = 100

4x² + x² – 16x + 16  = 100

5x² – 16x + 16 – 100 = 0

5x² – 16x – 84 = 0

Menulis Persamaan Kuadratik Dalam Bentuk Am

Suatu persamaan kuadratik dalam bentuk am boleh ditulis sebagai,

Suatu persamaan kuadratik dalam bentuk am mempunyai kuasa x yang disusun dalam tertib menurun.

Contoh

Tulis setiap persamaan kuadratik yang berikut dalam bentuk am.

Penyelesaian:

Mengenal Pasti Persamaan Kuadratik Dalam Satu Anu

Persamaan kuadratik dalam satu anu ialah kesamaan yang melibatkan ungkapan kuadratik.

Ciri-ciri persamaan kuadratik dalam satu anu ialah:

a) Ia melibatkan ungkapan kuadratik dalam satu anu.

b) Ia mempunyai tatatanda kesamaan, ‘=’.

Contoh

Nyatakan samada setiap yang berikut ialah persamaan kuadratik dalam satu anu atau tidak. Jelaskan mengapa.

Penyelesaian:

a) 3x² + 5x + 8 = 0 melibatkan ungkapan kuadratik dalam satu anu dan tatatanda ‘=’. Oleh itu, 3x² + 5x + 8 = 0 adalah satu persamaan kuadratik dalam satu anu.

b) (y + 3)/2 = y melibatkan ungkapan linear. Oleh itu (y + 3)/2 = y bukan satu persamaan kuadratik dalam satu anu.

c) (4/m) – 9m = 12 melibatkan sebutan 4/m. Oleh itu, (4/m) – 9m = 12 bukan satu persamaan kuadratik dalam satu anu.

d) 13 + 18j – 10j² melibatkan ungkapan kuadratik dalam satu anu tetapi tidak mengandungi tatatanda ‘=’. Oleh itu, 13 + 18j – 10j² bukan satu persamaan kuadratik dalam satu anu.

e) x² + y2 – 6xy = 15 melibatkan dua anu iaitu x dan y. Oleh itu, x² + y² – 6xy = 15 bukan satu persamaan kuadratik dalam satu anu.

f) 4 – q = 5q³ melibatkan kuasa tiga bagi anu p. Oleh itu, 4 – q = 5q³ bukan satu persamaan kuadratik dalam satu anu.

Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik tersebut.

Contohnya;

x² + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

Ungkapan kuadratik berbentuk ax² + bx dan ax² + c boleh difaktorkan dengan mengenal pasti faktor sepunyanya (common factors).

Contoh 1

Faktorkan setiap yang berikut.

• 6 – 15m² 
  Jwb: 3(2 – 5m²)   ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m².
  
  
• 10k² – 15k 
  Jwb: 5k(2k – 3)   ; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k² dan 15k.

Ungkapan kuadratik px² – q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares) boleh ditulis semula sebagai (ax) ² – b² dengan a² = p dan b² = q.

Seterusnya (ax) ² – b² difaktorkan dengan menggunakan identiti.

a² – b² = (a – b)(a + b)

Contoh 2

Faktorkan setiap yang berikut.

•  x² – 16 
  Jwb: 
  =  x² – 4²   ; 1 = 1² dan 16 = 4² adalah kuasa dua sempurna. 
  = (x – 4)(x + 4)
  
  
•  9m² – 25 
  Jwb: 
  = (3m) ² – 5²   ; 9 dan 25 adalah kuasa dua sempurna. 
  = (3m – 5)(3m + 5)

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x² + bx + c memberi (x + p)(x + q), manakala ungkapan kuadratik ax² + bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p)(nx + q).

Contoh 3

Faktorkan  x² – 8x + 15.

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan)

= (x – 5)(x – 3)

Dimana x² – 3x – 5x + 15 = x² – 8x + 15

Contoh 4

Faktorkan 5x² – 12x – 9

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya

= (5x + 3)(x – 3)

Dimana 5x² – 15x + 3x – 9 = 5x² – 12x – 9

Contoh 5

Faktorkan 4x² – 32x + 64

Jwb:

Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4

= 4(x² – 8x + 16)

Kemudian faktorkan ungkapan (x² – 8x + 16)

= 4(x – 4)(x – 4)

= 4(x – 4) ²

Ungkapan Kuadratik

Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut:

1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah.
2. Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah. 
   Contoh: 
   3x² + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana 
   (i) pemboleh-ubahnya adalah x, 
   (ii) kuasa tertinggi x ialah 2.

Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax² + bx + c, dimana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0, contohnya 2x² + 3x + 5.

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik:

• dengan dua sebutan, contohnya 2x² + 4x, c = 0
• dengan satu sebutan, contohnya 5p², b = c = 0

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x + 3) = 2x² + x - 3.

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1:

Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah. Beri alasan-alasan bagi jawapan.

• 5x² - 2x + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2.
  
  
• -3g² 
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.
  
  
• 3b - 4
  Jwb:
  Tidak. Walaupun terdapat hanya satu pemboleh ubah, b, tetapi kuasa tertinggi b ialah 1. 
  
  
• a² - b² 
  Jwb:
  Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b.
  
  
• p² + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2.
  
  
• x(x³ + x - 2)
  Jwb:
  Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax² + bx + c.
  
  

Contoh 2:
Darabkan ungkapan linear berikut.

• (2x - 3)(x + 1)
  Jwb:
  = 2x(x + 1) - 3(x + 1)
  = 2x² + 2x - 3x -3
  = 2x² - x - 3
  
  
• -y(y - 5)
  Jwb:
  = -y x y + (-y) x (-5)
  = -y² + 5y

Contoh 3:
Tulis ungkapan bagi luas segi empat tepat yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

Jwb:
Luas = Panjang x Lebar
= (x + 1)(x + 3)
= x(x + 3) + 1(x + 3)
= x² + 3x + x + 3
= x² + 4x + 3