Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik tersebut.

Contohnya;

x² + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

Ungkapan kuadratik berbentuk ax² + bx dan ax² + c boleh difaktorkan dengan mengenal pasti faktor sepunyanya (common factors).

Contoh 1

Faktorkan setiap yang berikut.

• 6 – 15m² 
  Jwb: 3(2 – 5m²)   ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m².
  
  
• 10k² – 15k 
  Jwb: 5k(2k – 3)   ; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k² dan 15k.

Ungkapan kuadratik px² – q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares) boleh ditulis semula sebagai (ax) ² – b² dengan a² = p dan b² = q.

Seterusnya (ax) ² – b² difaktorkan dengan menggunakan identiti.

a² – b² = (a – b)(a + b)

Contoh 2

Faktorkan setiap yang berikut.

•  x² – 16 
  Jwb: 
  =  x² – 4²   ; 1 = 1² dan 16 = 4² adalah kuasa dua sempurna. 
  = (x – 4)(x + 4)
  
  
•  9m² – 25 
  Jwb: 
  = (3m) ² – 5²   ; 9 dan 25 adalah kuasa dua sempurna. 
  = (3m – 5)(3m + 5)

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x² + bx + c memberi (x + p)(x + q), manakala ungkapan kuadratik ax² + bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p)(nx + q).

Contoh 3

Faktorkan  x² – 8x + 15.

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan)

= (x – 5)(x – 3)

Dimana x² – 3x – 5x + 15 = x² – 8x + 15

Contoh 4

Faktorkan 5x² – 12x – 9

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya

= (5x + 3)(x – 3)

Dimana 5x² – 15x + 3x – 9 = 5x² – 12x – 9

Contoh 5

Faktorkan 4x² – 32x + 64

Jwb:

Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4

= 4(x² – 8x + 16)

Kemudian faktorkan ungkapan (x² – 8x + 16)

= 4(x – 4)(x – 4)

= 4(x – 4) ²