Melukis Graf Fungsi

Langkah-langkah untuk melukis graf fungsi adalah seperti berikut.

1. Bina jadual nilai-nilai (table of values) bagi fungsi yang diberikan.
2. Pilih skala yang sesuai (suitable scale) untuk paksi-x dan paksi-y, sekiranya ia tidak diberikan.
3. Plotkan titik-titik.
4. Lengkapkan graf dengan menyambungkan (joining) titik-titik yang telah diplotkan.
5. Labelkan graf.

Contoh

Lukiskan graf bagi fungsi y = x² – 2x + 3 untuk –3 ≤ x ≤ 4. Gunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 1 cm kepada 1 unit pada paksi-y.

Jwb:

Langkah 1: Bina jadual nilai-nilai.

x	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
y	18	11	6	3	2	3	6	11

Langkah 2: Skala yang diberi ialah 2 cm kepada 1 unit (paksi-x) dan 1 cm kepada 1 unit (paksi-y).

Langkah 3: Plotkan titik-titik.

Langkah 4: Lukiskan graf.

Langkah 5: Labelkan graf.

Graf yang diperolehi dengan menggunakan langkah-langkah di atas adalah seperti berikut.

Nilai Digit Bagi Nombor Dalam Asas 2, 8 dan 5

Nilai digit = Digit × Nilai tempat bagi digit tersebut

Contoh:

Nyatakan nilai digit yang bergaris dalam setiap nombor berikut.

• 1101₂
  Jwb:

  Nilai tempat	23 = 8	22 = 4	21 = 2	20 = 1
  Nombor	1	1	0	1
  Nilai digit	1 x 8 = 8	1 x 4 = 4	0 x 2 = 0	1 x 1 = 1

  
  
  Oleh itu, nilai digit ‘1’ dalam 1101₂ ialah 8.
  
  
  
  
  
  
• 4032₈
  Jwb:

  Nilai tempat	83 = 512	82 = 64	81 = 8	80 = 1
  Nombor	4	0	3	2
  Nilai digit	4 x 512 = 2048	0 x 64 = 0	3 x 8 = 24	2 x 1 = 2

  
  
  Oleh itu, nilai digit ‘3’ dalam 4032₈ ialah 24.
  
  
  
  
  
  
• 1342₅
  Jwb:

  Nilai tempat	53 = 125	52 = 25	51 = 5	50 = 1
  Nombor	1	3	4	2
  Nilai digit	1 x 125 = 125	3 x 25 = 75	4 x 5 = 20	2 x 1 = 2

  
  
  Oleh itu, nilai digit ‘4’ dalam 1342₅ ialah 20.

Nombor dalam Asas Dua, Asas Lapan dan Asas Lima

Nombor yang kita gunakan dalam rutin kehidupan seharian adalah dalam asas 10 (base ten).

Nilai tempat suatu nombor dalam asas 10 adalah seperti berikut;

Nilai tempat (place value)	= 1000	= 100	= 10	= 1
	103	102	101	100
Contoh nombor dalam asas 10	9	7	0	3

Nilai tempat digit 9 angka dalam nombor 9703 ialah 1000.

Nilai tempat (place value) bagi mana-mana digit dalam suatu nombor adalah suatu nilai yang tetap dan tidak berubah oleh nilai digit tersebut.

Tiada nilai tempat yang bersamaan dengan sifar (zero).

Nilai tempat terkecil bagi semua asas nombor adalah satu, contohnya, nilai tempat bagi digit 3 dalam nombor 9703 adalah 1.

Terdapat 10 digit yang boleh ditulis dalam mana-mana ruang nilai tempat bagi suatu nombor dalam asas 10. Digit-digit tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.

Nilai digit (digit value) adalah BERBEZA dengan nilai tempat sesuuatu digit (place value of a digit). Sebagai contoh, di dalam nombor 9703;

Nilai digit 7 adalah 7 x 100 = 700, dimana,

• 7 ialah digit
• 100 ialah nilai tempat bagi digit 7
• 700 ialah nilai bagi digit 7

Nilai bagi digit 0 ialah 0 x 10 = 0, dimana,

• 0 ialah digit
• 10 ialah nilai tempat bagi 0
• 0 ialah nilai bagi digit 0

Begitu juga dengan nombor dalam asas 2, 8 dan 5 yang mempunyai nilai tempat masing-masing yang tertentu, seperti yang ditunjukkan dalam jadual berikut.

Asas 2 (Base Two)

Nilai tempat (place value)	= 4	= 2	= 1
	22	21	20

Asas 8 (Base Eight)

Nilai tempat (place value)	= 64	= 8	= 1
	82	81	80

Asas 5 (Base Five)

Nilai tempat (place value)	= 25	= 5	= 1
	52	51	50

• Hanya terdapat 2 digit sahaja dalam nombor asas 2, iaitu, 0 dan 1.
• Hanya terdapat 8 digit sahaja dalam nombor asas 8, iaitu, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.
• Hanya terdapat 5 digit sahaja dalam nombor asas 5, iaitu, 0, 1, 2, 3, 4 dan 5.

Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik tersebut.

Contohnya;

x² + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

Ungkapan kuadratik berbentuk ax² + bx dan ax² + c boleh difaktorkan dengan mengenal pasti faktor sepunyanya (common factors).

Contoh 1

Faktorkan setiap yang berikut.

• 6 – 15m² 
  Jwb: 3(2 – 5m²)   ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m².
  
  
• 10k² – 15k 
  Jwb: 5k(2k – 3)   ; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k² dan 15k.

Ungkapan kuadratik px² – q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares) boleh ditulis semula sebagai (ax) ² – b² dengan a² = p dan b² = q.

Seterusnya (ax) ² – b² difaktorkan dengan menggunakan identiti.

a² – b² = (a – b)(a + b)

Contoh 2

Faktorkan setiap yang berikut.

•  x² – 16 
  Jwb: 
  =  x² – 4²   ; 1 = 1² dan 16 = 4² adalah kuasa dua sempurna. 
  = (x – 4)(x + 4)
  
  
•  9m² – 25 
  Jwb: 
  = (3m) ² – 5²   ; 9 dan 25 adalah kuasa dua sempurna. 
  = (3m – 5)(3m + 5)

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x² + bx + c memberi (x + p)(x + q), manakala ungkapan kuadratik ax² + bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p)(nx + q).

Contoh 3

Faktorkan  x² – 8x + 15.

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan)

= (x – 5)(x – 3)

Dimana x² – 3x – 5x + 15 = x² – 8x + 15

Contoh 4

Faktorkan 5x² – 12x – 9

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya

= (5x + 3)(x – 3)

Dimana 5x² – 15x + 3x – 9 = 5x² – 12x – 9

Contoh 5

Faktorkan 4x² – 32x + 64

Jwb:

Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4

= 4(x² – 8x + 16)

Kemudian faktorkan ungkapan (x² – 8x + 16)

= 4(x – 4)(x – 4)

= 4(x – 4) ²

Ruang Sampel

Kesudahan yang mungkin bagi sesebuah eksperimen

Eksperimen (experiment) adalah satu proses atau tindakan dalam membuat pemerhatian untuk mendapatkan keputusan yang dikehendaki.

Hasil/kesudahan (outcomes) eksperimen adalah satu keputusan yang mungkin (kemungkinan) yang boleh diperolehi daripada eksperimen tersebut.

Contoh 1

Di dalam sebuah kotak, terdapat guli merah dan biru. Sebiji guli kemudiannya dikeluarkan secara rawak daripada kotak tersebut. Tentukan sama ada setiap kesudahan yang berikut adalah kesudahan/hasil yang mungkin.

• Guli merah dikeluarkan. 
  Jwb: Guli merah dikeluarkan adalah kesudahan yang mungkin.
  
  
• Guli biru dikeluarkan. 
  Jwb: Guli biru dikeluarkan adalah kesudahan yang mungkin.
  
  
• Guli kuning dikeluarkan. 
  Jwb: Guli kuning dikeluarkan adalah kesudahan yang tidak mungkin, kerana tidak ada guli kuning dalam kotak tersebut.

Contoh 2

Tarikh lahir bagi pelajar dalam sebuah kelas direkodkan. Tentukan sama ada setiap kesudahan berikut adalah kesudahan yang mungkin.

• 23 Jun 1997. 
  Jwb: 23 Jun 1997 adalah tarikh lahir yang mungkin.
  
  
• 30 Februari 1997. 
  Jwb: 30 Februari 1997 adalah tarkh lahir yang tidak mungkin, kerana tarikh 30 Februari adalah tidak wujud.
  
  
• 31 Disember 2020. 
  Jwb: 31 Disember 2020 adalah tarkh lahir yang tidak mungkin, kerana kita masih belum memasuki tahun 2020.

Penyenaraian semua kemungkinan kesudahan/hasil

Contoh 3

Satu eksperimen dijalankan dengan melambung duit syiling. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

Jwb: Apabila duit syiling dilambung, kesudahan yang mungkin adalah 'kepala'(permukaan syiling yang bergambar) dan 'ekor' (permukaan syiling yang bernombor).

Menentukan ruang sampel

Ruang sampel (sample space) adalah set semua kesudahan yang mungkin bagi satu eksperimen.

Contoh 4

Satu huruf dipilih daripada perkataan 'HITUNG'

• Senaraikan semua kesudahan yang mungkin. 
  Jwb: Kesudahan yang mungkin adalah H, I, T, U, N dan G.
  
  
• Tulis ruang sampel, S, menggunakan tanda set. 
  Jwb: S = {H, I, T, U, N, G}. Ruang sampel biasanya ditandakan dengan huruf 'S'.

Contoh 5

Warna pelangi adalah disenaraikan. Tulis ruang sampel, S, menggunakan tanda set.

Jwb: Ruang sampel, S = {merah, jingga, kuning, hijau, biru, indigo, ungu}.

Kecerunan Garis Lurus

Kecerunan garis lurus (gradient of a straight line) ialah nisbah jarak mencancang/menegak (vertical distance) kepada jarak mengufuk (horizontal distance) di antara sebarang dua titik pada garis lurus.

Contohnya,

Dalam rajah di atas, jarak mencancang di antara A dan B ialah 3 unit, manakala jarak mengufuk di antara A dan B ialah 5 unit. Maka kecerunan garis lurus AB ialah

Kecerunan = Jarak mencancang / jarak mengufuk

= 3 / 5

= 0.6